投稿や固定ページに複製機能がつけられるプラグイン Yoast Duplicate Postですが、通常の投稿などはデフォルトで複製の機能がつくのですが、カスタム投稿ではついていないようです。
上記のようにカスタム投稿で作成したメニューには複製の項目がありません。解決方法は
管理画面 → 設定 → Duplicate Postを選択
これからの投稿タイプに対しての有効化のところのメニュー（赤枠）のチェックが抜けていますので、ここにチェックを入れます。
複製の項目ができました！新しく追加してカスタム投稿については、上記の要領で追加の登録が必要です。